Минимальный набор ds джуна в 2024
Данный документ составлен для самостоятельного обучения, если вы хотите учится в рамках официального образования то рекомендуем следующую схему
лучше делать параллельно по поддельным документам в целях экономии времени.
Евклидова геометрия, комплексные числа, скалярное умножение, неравенство Коши-Буняковского. Начала квантовой механики Кострикин-Манин). Группы преобразований плоскости и пространства. Вывод тригонометрических тождеств. Геометрия на верхней полуплоскости Лобачевского). Свойства инверсии. Действие дробно-линейных преобразований.
Кольца, поля. Линейная алгебра, конечные группы, теория Галуа. Доказательство теоремы Абеля. Базис, ранг, определители, классические группы Ли. Сечения Дедекинда. Определение поля вещественных чисел. Определение тензорного произведения векторных пространств.
Теория множеств. Лемма Цорна. Вполне упорядоченные множества. Базис Коши-Гамеля. Теорема Кантора-Бернштейна. Несчетность множества вещественных чисел.
Метрические пространства. Теоретико-множественная топология (определение непрерывных отображений, компактность, собственные отображения). Счетная база. Определение компактности в терминах сходящихся последовательностей для пространств со счетной базой. Гомотопии, фундаментальная группа, гомотопическая эквивалентность.
p-адические числа, теорема Островского, умножение и деление pадических чисел в столбик
Дифференцирование, интегрирование, формула Ньютона-Лейбница. Дельта-эпсилон формализм, лемма о милиционере.
Анализ на $R^n$. Дифференциал отображения. лемма о сжимающем отображении. Теорема о неявной функции. Интеграл Римана и Лебега. ("Анализ" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича, "Задачи и теоремы из функ. анализа" Кириллова-Гвишиани), при этом желательно если кандидат изучал материал в таком порядке: Тыртышников, Стренг, Беклишев, Зорич, Шварц, а Кириллова-Гвишиани прослушал в формате аудиокниги.
Гильбертовы пространства, банаховы пространства (определение). Существование базиса в гильбертовом пространстве. Непрерывные и разрывные линейные операторы. Критерии непрерывности. Примеры компактных операторов. ("Анализ" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича, "Задачи и теоремы из функ. анализа" Кириллова-Гвишиани)
Гладкие многообразия, субмерсии, иммерсии, теорема Сарда.
Разбиение единицы. Дифференциальная топология Милнор-Уоллес). Трансверсальность. Степень отображения как топологический инвариант.
Дифференциальные формы, оператор де Рама, теорема Стокса, уравнение Максвелла электромагнитного поля. Теорема Гаусса Остроградского как частный пример.
Комплексный анализ одного переменного (по книге Анри Картана либо первому тому Шабата). Контурные интегралы, формула Коши, теорема Римана об отображениях из любого односвязного подмножества $C$ в круг, теорема о продолжении границ, теорема Пикара о достижении целой функцией всех значений, кроме трех. Многолистные функции (на примере логарифма).
Теория категорий, определение, функторы, эквивалентности, сопряженные функторы Маклэйн, Categories for working mathematician, Гельфанд-Манин, первая глава).
Группы и алгебры Ли. Группы Ли. Алгебры Ли как их линеаризации. Универсальная обертывающая алгебра, теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта. Свободные алгебры Ли. Ряд Кэмпбелла-Хаусдорфа и построение группы Ли по ее алгебре (желтый Серр, первая половина).
Алгебраическая топология Фукс-Фоменко). Когомологии (симплициальные, сингулярные, де Рама), их эквивалентность, двойственность Пуанкаре, гомотопические группы. Размерность. Расслоения (в смысле Серра), спектральные последовательности Мищенко, "Векторные расслоения..."). Вычисление когомологий классических групп Ли и проективного пространства.
Векторные расслоения, связность, формула Гаусса-Бонне, классы Эйлера, Черна, Понтрягина, Штифеля-Уитни. Мультипликативность характера Черна. Классифицирующие пространства ("Характеристические Классы", Милнор и Сташеф).
Дифференциальная геометрия. Связность Леви-Чивита, кривизна, алгебраическое и дифференциальное тождество Бьянки. Поля Киллинга. Кривизна Гаусса двумерного риманова многообразия.
Клеточное разбиение пространства петель в терминах геодезических.
Теория Морса на пространстве петель (по книге Милнора "Теория Морса" и Артура Бессе "Эйнштейновы Многообразия"). Главные расслоения и связности в них.
Дискретная математика, K2, теорема Поста, схемы, конечные автоматы (ДКА и НДКА), автомат Калашникова, клеточные автоматы
Диффуры, Теория